"Помню, были стишки, в которых строка заканчивалась неприличным словом, последний слог которого начинал новую строку".

Это как раз то, что rweiss выше цитировал:

Гагара - северная птица
Мороза не боится
И может на ходу
Чесать свою пи...

...ликала гармошка,
Играл аккордеон,
А маленький Антошка
Натягивал га...
(и так по кругу со многими вариациями).